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最佳平方逼近的误差

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数值分析中为什么要对一个已经知道了的函数进行最佳平方逼近去拟合它？
这对专业人士来讲可能比较蠢的问题（我知道书上存在即合理⊙▽⊙），在数值分析中，将离散数据拟合方法推广到连续函数，即所谓的连续函数的最佳平方逼近。很疑惑，都知道这个函数的确切表达式了，为啥还要去拟合逼近它再搞出一个有误差的近似多项式(ﾟOﾟ)
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cielo
书中是为了举例而给出了具体函数的表达式方便读者理解。但一般情况下，我们并不知道函数的表达式，而是只知道函数在某些点上的取值。为了推测函数在其他点的取值情况，拟合是一个比较好的方法。为了知道拟合效果的好坏，我们需要一些估计误差的方法。由于我们只有函数在一些点上的信息，为了估计函数在其他地方的误差，我们需要假设函数满足一些条件，比如连续性可微性等等，从而推导出一些误差估计公式。
编辑于2022-06-15·著作权归作者所有
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JackieLee
ComputationalMath&Mechanics
如果是题目里这种情况，函数已知，我认为好处主要是多项式容易存储、求值、求导、积分。
另一种常见情况是，我们不知道这个函数，但该函数是某个偏微分方程/变分问题的解（比如热传导方程），选定一组多项式基之后，用Ritz/Galerkin方法，就可以得到未知函数的最佳平方逼近。
编辑于2022-06-10·著作权归作者所有
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知非涤心
sin(x)、cos(x)、exp(x)等等函数虽然你按计算器一下就能算出给定x的函数值。但是实际想想会发现，要我手算的话，这玩意儿根本没法算，比如sin(1.6)、exp(2.3)这些要怎么算啊？我们能算的实际上只有加减乘除这些四则运算。你可能会说可以「泰勒展开」，但是泰勒展开有可能收敛很慢，精度可能达不到要求。
如果这时，我们能找到一个对某个函数的多项式逼近，这样我们就可以把这个我从下手的问题转化成一个多项式计算的问题，多项式是我们会算的，这就方便很多了。而且只要多项式选得好，很容易就能达到我们想要的精度。也不用担心无脑泰勒展开算很多项之后收敛效果仍然不好的问题。
编辑于2022-06-10·著作权归作者所有
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傻儿鱼庄
新鲜活泼的傻头鱼专卖
计算机几乎不能直接算非多项式函数。于是你的已知是"存在"意义上的已知，不是"数值计算"意义上的已知。考虑有限存储空间和计算时间，像Exp(2)这样的函数值的精确数值都没法算。数值分析主要是给这种数值计算做理论支撑的数学分支。
编辑于2022-06-15·著作权归作者所有
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